上一节介绍了 n 元线性方程组的解, 它由 n 个数组成, 而这 n 个数作为线性方程组的解是一个整体,分开是没有意义的. 它其实是一个 n 维向量.
定义 2.1. (n维向量)由数域 F 上的 n 个数 a1,a2,⋯,an 组成的 n 元有序数组
(a1,a2,⋯,an) 或 a1a2⋮an
称为数域 F 上的 n 维向量, 其中 ai 称为它的第 i 个分量.
通常以希腊字母 α,β,γ,⋯ 来表示 n 维向量.
写成行形式的向量称为 行向量, 写成列形式的向量称为 列向量.
其实,它们也可以看作 1×n 和 n×1 的矩阵.
数域 F 上的 n 维向量的全体组成的集合记为 Fn .
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在本章中, Fn 的向量统一采用行向量的形式.
n=2 或 3 且 F=R 的情形就是我们熟悉的平面或空间的有向向量, 当 n>3 时向量没有直观的几何意义.
下面介绍 n 维向量之间的基本运算.
定义 2.2.
设 α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn), 若
ai=bi(i=1,2,⋯,n),
则称这两个向量相等,记为 α=β .
定义 2.3.
设向量 α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn) ,称
γ=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)
为 α 与 β 的和,记为
γ=α+β
定义 2.4.
分量全为零的向量
(0,0,⋯,0)
称为零向量,
记为 0;(−a1,−a2,⋯,−an) 称为向量 α=(a1,a2,⋯,an) 的负向量, 记为 −α .
利用负向量可以定义向量的减法:
α−β=α+(−β)
定义 2.5.
设 k∈F ,向量
(ka1,ka2,⋯,kan)
称为向量 α=(a1,a2,⋯,an) 与数 k 的数量乘积,记为 kα 或 αk .
显然,由上述定义易知, ∀α,β∈Fn 和 ∀k,ℓ∈F, n 维向量的加法及数乘运算有以下八条运算规律:
α+β=β+α ;
(α+β)+γ=α+(β+γ) ;
α+0=α
α+(−α)=0 ;
1⋅α=α ;
k(ℓα)=(kℓ)α ;
k(α+β)=kα+kβ ;
(k+ℓ)α=kα+ℓα .
定义 2.6. (n维向量空间)以数域 F 中的数作为分量的 n 维向量的全体, 同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘积, 称为数域 F 上的 n 维向量空间, 记为 Fn.
特别地,
当 F=R 时称为 n 维实向量空间,记为 Rn ;
当 F=C 时称为 n 维复向量空间,记为 Cn .
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